je viens de recevoir "Leçon de calcul et d'économie appliquée"



Apprenons a calculer. L'économie c'est pas très compliqué...


Petit problème d'économie posé par des étudiants parisiens.

Le petit Nicolas affirme que l'exonération des charges sociales sur les heures supplémentaires va créer des emplois. Vérifions.

L'entreprise Sweet Leader emploie 11 salarié-es dont le salaire horaire brut est de 10 euros pour 35 heures par semaine. Sachant que les charges patronales représentent 50 % du salaire brut, calculons le coût salarial total : L'entreprise utilise 11 salarié-es x 35 heures = 385 heures de travail hebdomadaires qui lui coûtent 385 heures x 10 euros = 3850 euros par semaine. S'y ajoutent les charges patronales soit 3850 x 50/100 = 1925 euros. Le coût salarial hebdomadaire total est donc de 3850 + 1925 = 5775 euros par semaine.

Les heures supplémentaires étant exemptées de charges après le 6 mai 2007, l'entrepreneur décide de licencier un-e salarié-e et de recourir aux heures supplémentaires. Désormais, l'entreprise utilise 10 salarié-es x 35 heures = 350 heures de travail hebdomadaires qui lui coûtent 350 heures x 10 euros = 3500 euros par semaine. Plus les charges patronales soit un coût salarial hebdomadaire total de 3500 x 50/100 = 1750 euros de charges patronales. A cette somme il faut ajouter 35 heures supplémentaires payées 10 % de plus, soit 35 heures x 10 euros + (350 x 10/100) = 385 euros payées en heures supplémentaires. Le coût salarial total est donc passé à 3500 + 385 + 1750 = 5635 euros par semaine, en baisse de 2,4%. A comparer au taux de chômeurs généré : 1 ÷ 11 ~ 9,1%.

On a donc désormais des salarié-es qui travaillent chacun-e 38,5 heures par semaine (exit les 35h !) et un chômeur ou une chômeuse de plus. Le pouvoir d'achat distribué chaque semaine par cette entreprise est passé de 3850 euros à 3500 + 385 = 3885 euros bruts, soit une progression de 35 euros (+0,9%) qui ne bénéficie qu'aux 10 non chômeurs. Le salaire hebdomadaire brut de ces "privilégiés" augmente certes de 11%, mais leur salaire horaire n'augmente que de 0,9% (de 10 euros à 10,09 euros = 3885 ÷ 38,5). Les recettes de la sécurité sociale ont diminué ainsi que celles des Assedic, pendant que la solidarité nationale doit désormais assumer la charge d'un chômeur supplémentaire.

Le bilan de la mesure pour cette entreprise se résume donc à faire travailler davantage la majorité des actifs, et à augmenter - en moyenne, mais très inégalitairement - de 0,9% le pouvoir d'achat des actifs de cette entreprise, au prix d'une augmentation du chômage de 9,1%.

Résultats à multiplier par le nombre de salariés français qui seront concernés.

Quand on a fait le corrigé, le petit Nicolas a continué à prétendre qu'il savait très bien compter et que ce sont les autres qui ne savent pas.

Nous avons vu que la question de la motivation, qui apparaît comme nouvelle en cela qu’elle est de plus en plus généralisée, implique pour le pédagogue la gestion de l’hétérogénéité des centres d’intérêts et des attentes des stagiaires dans le but d’amener le stagiaire à l’étude volontaire de la matière. Voyons maintenant quel est l’ensemble des paramètres ou principes que les psychologues et pédagogues estiment lié à l’acte d’apprentissage, d’enseignement, donc faisant partie du rôle du formateur idéal, au travers des hétérogénéités.

Le formateur idéal doit savoir apporter une solution à :

L’hétérogénéité des centres d’intérêts des stagiaires, dans le but d’amener les stagiaires à s’intéresser à la matière et donc de gérer la motivation de chacun, en donnant sens à l’enseignement en répondant aux questions « Qu’est ce que c’est ? » et « A quoi cela peut-il me servir ? ».

L’hétérogénéité des attentes des stagiaires vis-à-vis de la matière, dans le but de les satisfaire ou d’offrir des pistes de satisfaction de ces attentes, démontrant ainsi à chaque stagiaire l’utilité de l’enseignement au travers d’un résultat pratique immédiat en rapport avec ses centres d’intérêts.

L’hétérogénéité des besoins des stagiaires, dans le but d’offrir à chaque stagiaire les outils qui lui seront nécessaires dans le cadre de son activité professionnelle actuelle ou future, en fixant et ou respectant les objectifs de la formation.

L’hétérogénéité des représentations des stagiaires vis-à-vis de l’acte d’apprendre, dans le but de faciliter l’apprentissage de chaque stagiaire, en s’adaptant à sa manière d’apprendre dans ce qu’elle implique comme contraintes. On suppose ici que les représentations du stagiaire de l’acte d’apprendre sont valables dans la matière considérée, sans quoi il faut aider le stagiaire à construire sa méthode.

L’hétérogénéité des représentations des stagiaires vis-à-vis de l’acte d’enseigner, dans le but de faciliter l’apprentissage en définissant son rôle d’enseignant vis-à-vis de chaque stagiaire, en adaptant son attitude aux représentations de ce dernier. Comme dans l’hétérogénéité précédente, on suppose que les représentations du stagiaire sont compatibles avec l’acte d’enseigner, sans quoi il est nécessaire de l’amener à faire évoluer ses représentations dans un souci d’efficacité.

L’hétérogénéité des représentations des stagiaires vis-à-vis de la matière, dans le but de d’améliorer le rapport de chaque stagiaire à la matière enseignée, en améliorant sa confiance en ses possibilités de progresser dans son savoir, en lui montrant qu’il est capable de résoudre des problèmes et de poser des questions pertinentes en rapport avec les notions abordées. Dans la pratique cela revient à réussir à dire au stagiaire de façon justifiée, « tu vois bien que tu peux le faire » ou « c’est bien, continue comme ça » ou encore « toujours aussi doué ».

L’hétérogénéité des méthodes d’apprentissage des stagiaires, dans le but de faciliter l’apprentissage, en offrant la possibilité à chaque stagiaire d’appréhender le savoir selon sa ou ses méthodes d’apprentissage (déduction, induction, analogie, recherche etc.).

L’hétérogénéité des niveaux de connaissances et de compétences des stagiaires, dans le but de rendre possible la progression et l’atteinte des objectifs pour chaque stagiaire, en s’assurant que le stagiaire possède bien les pré requis pour atteindre les objectifs et que sa progression est toujours possible.

L’hétérogénéité des vitesses d’apprentissages des stagiaires, dans le but de rendre possible l’acquisition de nouvelles notions pour chaque stagiaire, en adaptant le rythme de la formation à chaque cas.

L’hétérogénéité des exigences des stagiaires en terme d’objectifs personnels, dans le but d’aider chaque stagiaire à gérer ses efforts, en lui exposant le plus précisément possible ce qui est attendu de lui en terme de maîtrise de chacune des notions abordées.

L’hétérogénéité de niveau en terme de prise de parole en public, dans le but que chaque stagiaire ose exposer ses difficultés afin qu’elles puissent être traitées, en offrant des espaces de parole privés de notion de jugement et en encourageant les stagiaires a s’en saisir.

L’hétérogénéité des erreurs et des réussites des stagiaires, dans le but que chaque stagiaire puisse bénéficier d’une remédiation concernant les notions mal maîtrisées au travers du traitement de ses erreurs et ai l’occasion de reformuler ses réussites, dans le but d’identifier les stratégies adaptées qu’il a su mettre en place pour résoudre un problème. Exemple : La question « Tu es sûr ? » ou « Peux-tu m’expliquer ? » qui s’applique aussi bien aux travaux réussis, qu’à ceux comportant des erreurs.

L’hétérogénéité de niveau en terme de socialisation, dans le but que chaque stagiaire bénéficie d’un environnement d’apprentissage adapté à ses besoins, en instaurant le droit et les conditions de prise de parole, le respect de l’autre, le droit à l’erreur, l’écoute, l’entraide (faire expliciter et expliquer sans faire à la place).

L’hétérogénéité de niveau en terme de vocabulaire, dans le but de rendre accessible les explications et consignes à chaque stagiaire, en s’assurant que les termes employés soient compris par chaque stagiaire dans tout leur sens et dans le contexte de leur utilisation.

L’hétérogénéité en terme d’estime de soi scolaire, dans le but que chaque stagiaire puisse avoir une image la plus juste possible de ses acquis et possibilités dans la matière enseignée, afin qu’il puisse doser les efforts qu’il a à accomplir, en lui montrant la réalité de ses possibilités et de ses acquis. Ceci aussi bien dans le cas de sous-estimation que dans celui de surestimation.

L’hétérogénéité des modes de perception des stagiaires, dans le but que chaque stagiaire puisse appréhender les définitions et explications selon son ou ses modes de perception principaux, en utilisant l’oral, l’écrit, le gestuel et l’expérimentation concrète.

Après ce long descriptif, nul doute que nous sommes encore loin du compte et qu’il existe bien d’autres solutions à apporter a bien d’autres hétérogénéités. Aux vues de la complexité de la tâche essayons de généraliser un peu…

Le rôle du formateur selon les pédagogues et psychologues :

Il se dessine quatre axes principaux dans l’acte d’enseignement en groupe :

• - Motiver chaque stagiaire
• - La ou les matières enseignées
• - Le travail de groupe (socialisation)
• - Les techniques d’apprentissages

La définition des pédagogues actuellement en vogue semble être :

Motiver chaque stagiaire à apprendre en l’impliquant, afin de pouvoir lui enseigner un savoir en s’adaptant à ses techniques d’apprentissages et en l’amenant à les parfaire dans une optique de personnalisation et de spécialisation en tenant compte de ses aptitudes sociales. Eventuellement il peut être question pour certains d’entre eux de l’acquisition de compétences de socialisation, mais le plus souvent elles sont considérées comme acquises.

Soyons un peu plus ambitieux que les pédagogues, dans un souci de travail bien fait et d’apporter aux stagiaires ce qui leur offre le plus de possibilités de développement et d’épanouissement et définissons le rôle du formateur comme :

Enseigner à chaque stagiaire la façon de motiver, les savoirs, les techniques d’apprentissages les plus adaptées à chaque savoir dans une optique personnelle, et comment mettre en place les règles sociales nécessaires adaptées au travail d’un groupe particulier et de chacun de ses membre.

Le rôle du formateur devient :

• - Enseigner à motiver
• - Enseigner la ou les matières.
• - Enseigner à apprendre en fonction des spécificités du savoir à acquérir et des individus.
• - Enseigner à fixer les règles de travail d’un groupe en formation en prenant en compte chaque individu.

Ceci en tenant compte de l’aisance de travail du groupe (incluant le formateur) et de la progression de chacun vis-à-vis des quatre types d’objectifs.

Jusqu’ici l’idée n’a rien d’originale et ressemble même beaucoup à l’idée de la pédagogie différenciée. Mais Poussons encore un peu notre raisonnement et ce qu’implique notamment la notion d’aisance de travail. Le formateur, à ce stade et devant le surcroît de travail, se voit dans l’incapacité de mener sa tâche à bien, il lui faudrait, devant la multiplicité des objectifs et des cas, être plusieurs. Examinons plus avant cette idée, « comment être plusieurs » tout en conservant les objectifs intacts ? Quel métier nécessite de motiver, d’apprendre aux autres à apprendre et de fixer les règles de travail en commun ? La réponse est claire, le métier de formateur correspond à toutes ces exigences. Voyons comment nous pouvons concilier tout cela. Il nous reste à voir en quoi, à supposer que la solution du problème soit bien d’enseigner aux stagiaires dans l’optique de leur apprendre à enseigner, de voir ce que peut leur apporter l’enseignement de la matière aux autres stagiaires et réciproquement. Une étude du tutorat va nous permettre d’éclairer les bénéfices qu’enseigner apporte au tuteur et au tutoré.

Le tutorat :

(http://recherche.aix-mrs.iufm.fr/publ/voc/n1/barnier/index.html Gérard Barnier, Docteur en psychologie et science de l’éducation, professeur à l’IUFM d’Aix Marseille)

« Le tutorat autorise une meilleure prise en compte des relations et des activités entre apprenants et permet une plus grande participation des élèves à leurs propres apprentissages. Situé à l’articulation de l’acte d’enseigner et de celui d’apprendre, il sollicite conjointement les processus de transmission, d’appropriation et de réinvestissement des connaissances. Il s'appuie sur une conception du développement comme processus d'assistance et de co-élaboration entre les individus, où la capacité à apprendre est corrélative de celle d'expliquer, d'enseigner. On le trouve mis en œuvre dans des dispositifs de lutte contre l'échec scolaire ainsi que dans des activités pédagogiques visant l'individualisation l'enseignement, et ses effets bénéfiques peuvent aussi bien concerner les tutorés (ceux qui sont aidés) que les tuteurs. »

« Tel qu'il est pratiqué aujourd'hui, le tutorat entre pairs cherche à favoriser la prise de confiance en soi, à aider au renforcement et à l'acquisition de savoirs des tutorés, mais aussi à accroître la capacité à apprendre des tuteurs en développant leur capacité à enseigner. C’est ce dernier aspect qui est au centre de la définition qu'en proposent Goodlad et Hirst : "le tutorat entre pairs est ce système d'enseignement au sein duquel les apprenants s'aident les uns les autres et apprennent en enseignant." »

« Bien que les dispositifs tutoriels soient extrêmement diversifiés, le principe de base reste relativement simple : un élève plus compétent qu’un autre dans un domaine ou par rapport à une tâche particulière, vient en aide à un autre élève, non pour faire à sa place ni pour lui dicter ce qu’il faut faire, mais en lui expliquant comment s’y prendre pour qu’il parvienne à mieux réussir par lui-même. »

Nous soulignerons le fait que l’action de tutorat consiste dans un premier temps à faire expliciter sa méthode de résolution au tutoré et qu’il est du rôle du tuteur de tenter de prolonger et de corriger la méthode qu’emploi le tutoré avant que de lui imposer une méthode de résolution personnelle. Dans un second temps, nous encourageons le tuteur tenté d’expliquer sa méthode au tutoré afin que celui-ci juge de la possibilité qu’il a de s’en inspirer et de l’inclure à sa démarche. Enfin, le tuteur, comme le formateur, doit examiner à chaque instant la possibilité qu’une démarche même imparfaite peut avoir son utilité en cela qu’elle est susceptible de contenir un raccourci intéressant offrant ainsi au tuteur la possibilité d’optimiser sa démarche personnelle.

« Que les élèves à un moment donné soient en situation d'enseigner ce qu'ils ont appris leur permet de s'approprier réellement le savoir en favorisant la fixation des connaissances. Cet enseignement par l'enfant n'a absolument pas pour but de se substituer au maître. C'est une manière de rendre l'élève plus actif dans la maîtrise des savoirs, de lui "apprendre à apprendre." »

Ici, et dans l’optique qui est la notre, le tutorat a pour but que le tuteur puisse aborder une des fonctions assurée habituellement par l’enseignant, afin qu’il puisse se substituer au « maître » dans cette fonction. Gardons bien à l’esprit qu’il ne s’agit là que d’une des portes d’entrée possible pour que le tuteur puisse agir au sein du groupe comme un formateur adjoint.

« Au 19° siècle, le monitorial system de Bell et Lancaster ainsi que le spectaculaire essor des Ecoles Mutuelles un peu partout dans le monde, a remis au premier plan l'idée qu'enseigner c'est apprendre deux fois. Il s'agissait alors de développer un enseignement de masse au moindre coût, mais ces écoles ont également constitué le creuset de pratiques pédagogiques novatrices dont hériteront les écoles de J. Ferry. Plus près de nous, des dispositifs pédagogiques de coopération, d’entraide, de guidage entre élèves sont présents chez Dewey, Decroly, Claparède, Freinet, ou encore Montessori pour qui la coéducation et l'entraide sont de nature à impulser le développement de l’enfant, "ce constructeur de l’homme". S'intéressant à la formation de l'esprit scientifique, Bachelard prônait une pratique d'enseignement où l'élève passerait par le détour formateur d’avoir aussi à enseigner ce qu’on lui enseigne. »

« Effet du tutorat sur l'enfant aidé :

C'est en référence à la conception vygotskienne du développement sous-tendue par le concept de zone proximale de développement, et aux travaux actuels du socio-constructivisme, que le tutorat entre pairs prend tout son intérêt. Activateur du développement mental, l'apprentissage provoque l'émergence de processus évolutifs en favorisant la formation d'une zone proximale de développement. Encadré, soutenu par un adulte ou un pair plus compétent que lui, l’enfant parvient à réaliser une tâche qu’il réussira par la suite tout seul lorsque les compétences et les conseils du tuteur, "une fois intériorisés, deviendront une conquête propre de l’enfant". L’aide qu’un tuteur apporte en rendant une tâche plus intelligible et en facilitant la mise en œuvre de procédures de résolution joue un rôle de médiation entre le niveau initial du tutoré et ce qu’il sera ensuite capable de faire. Bien sûr, "pour que la médiation conserve sa fonction sémiotique, le tuteur ne doit pas faire à la place de l'élève". A sa manière, et plus ou moins bien selon sa propre compétence, le tuteur met en œuvre un dispositif d'assistance et de soutien de l'action de l'autre, qui correspond à ce que Bruner appelle processus d'étayage.

L’effet-tuteur

Cette expression désigne le bénéfice personnel retiré par les élèves qui apportent une aide. Ces relations interactives d’instruction constituent un dispositif médiateur du développement de la capacité à apprendre des tuteurs en sollicitant leur capacité à enseigner, à expliquer.

Le tutorat valorise l’image de soi. Le regard différent des enseignants sur les tuteurs, leur responsabilité, leur mobilisation, favorisent l’acceptation de la chose scolaire. Plusieurs études ont souligné que le fait d’être tuteur aide à prendre confiance en soi, à se sentir plus assuré quant à ses possibilités intellectuelles.

Il permet un apprentissage par la reformulation qui amène les élèves-tuteurs à revisiter des connaissances, à les réorganiser, à mieux voir l'essentiel. Ayant à apporter une aide, le tuteur produit des explications : il est sollicité sur un plan métacognitif, au niveau des fonctions régulatrices de l’action (capacités d’organisation, de contrôle, d’évaluation et de vérification). Il apprend à porter un regard critique sur ce qui est fait, à se distancier par rapport à sa propre manière de faire, à réfléchir afin de mieux agir.

Il y a une mobilité cognitive, formatrice pour le tuteur, car il opère de constants va et vient entre ce qu’il pense d'une tâche et de la manière de s’y prendre pour la réaliser, et la nécessité de regarder ce que fait l’autre et comment il le fait, de vérifier et d’évaluer ce qu’il a fait, de lui montrer ce qui ne va pas en lui expliquant pourquoi ça ne va pas, en lui suggérant ce qu’il pourrait faire, etc. Ce processus d'étayage crée une situation d’apprentissage où s'articulent pensée, parole et action. »

et (http://recherche.aix-mrs.iufm.fr/publ/rapports/cncre/CNCRE02.pdf CNCRE - QUESTIONS D’ÉDUCATION - Rapport de l’équipe IUFM d’Aix-Marseille / LAMES – Octobre 2000)

« Du côté des acteurs, moniteurs et élèves aidés, une multitude de problèmes ou de difficultés sont relevés. Il y a quelques refus d’aider ou d’être aidé, refus qui nécessitent des explications supplémentaires. Il y a les moniteurs un peu imbus de leur rôle, parfois désagréables ou suffisants vis-à-vis des enseignants et autoritaires par rapport à ceux qu’ils doivent aider, d’où un travail de régulation, de mise au point, de discussion quant à la manière d’assumer le rôle. On trouve aussi des moniteurs un peu démotivés, voire découragés devant la difficulté de la tâche, qui n’arrivent pas à produire les explications souhaitées ; ou même ceux qui se trompent, qui transmettent une réponse erronée, avec un enseignant qui n’est pas toujours présent au moment opportun pour provoquer la rectification. Il y a ceux qui outrepassent les consignes données et qui font à la place de l’autre au lieu d’apporter ce qui est nécessaire pour que l’autre puisse se débrouiller par lui-même. Il y a les incompatibilités, avec des dyades qui ne s’entendent pas. »

Pour prévenir les problèmes, il convient d’accompagner les tuteurs en situation jusqu’à ce qu’ils aient compris et ou établi une démarche compatible avec leur rôle, de leur expliquer le rôle de tuteur, de s’assurer qu’ils ne se trompent pas en les faisant intervenir par exemple sur un exercice qu’ils viennent de terminer, qu’ils ont réussi et dont ils ont expliqué leur façon de le résoudre au formateur.

« […] pour fonctionner correctement comme tuteurs : il faut et il suffit, de ce point de vue, qu’il y ait un écart de compétences suffisant pour justifier le tutorat entre tel et tel élève. Solliciter en tant que tuteurs des élèves faibles est aussi une manière de tirer parti des effets bénéfiques attachés à l’exercice de la fonction de tuteur en aidant ces élèves à progresser. »

« des élèves faibles, plus lents dans leur compréhension, peuvent être des tuteurs efficaces à condition qu’ils soient préparés à ce rôle et qu’ils interviennent dans un champ disciplinaire clairement délimité » (« In the context of clearly-delimitted instruction, and with training, low-achievers can make effective tutors » (Fitz-Gibbon, 1990, p. 33).)

Le reste des citations parlent d’elles-mêmes et nous les reprenons sans autre commentaire, mais revenons à notre démarche.

Le rôle du formateur devient :

• - Enseigner à motiver
• - Enseigner à Enseigner la ou les matières.
• - Enseigner à apprendre en fonction des spécificités du savoir à acquérir et des individus.
• - Enseigner à fixer les règles de travail d’un groupe en formation en prenant en compte chaque individu.

Ceci en tenant compte de l’aisance de travail du groupe (incluant le formateur) et de la progression de chacun vis-à-vis des trois types d’objectifs.

Le rôle du formateur serait donc d’enseigner aux stagiaires dans l’optique de leur apprendre à enseigner la ou les matières qu’il enseigne lui-même.

Il ne s’agit pas ici de faire de tous les stagiaires des formateurs, mais de travailler dans cette optique. Peu nous importe que tous y parviennent, ni même qu’ils y parviennent entièrement dans toute la complexité de la tâche. Ce que nous cherchons en tant que formateur, c’est dans un premier temps à améliorer l’aisance de travail du groupe, puis peut-être de trouver dans les expérimentations pertinentes et les réflexions des apprentis formateurs des pistes d’améliorations, tout en amenant les stagiaires vers les objectifs fixés.

Mais, me direz-vous, à quoi sert au stagiaire d’apprendre à motiver et socialiser ? De la même manière qu’apprendre aux autres à apprendre une matière où, pour les mathématiques ou l’informatique, apprendre aux autres à résoudre un problème permet de mieux analyser sa propre façon de faire, de l’expliciter, et de l’enrichir, le fait d’appendre aux autres à se motiver ou à déterminer des règles sociales nécessaires à l’apprentissage, permet avec l’aide éventuelle du formateur d’analyser et de justifier ou au contraire contester les règles et les démarches mises en place par le formateur dans le but de les parfaire.

Mais comment apprendre aux stagiaires à enseigner ? Il suffit de mettre en place les règles et les dispositifs auxquels on croit en tant que formateur et d’ouvrir la porte progressivement aux stagiaires, en leur délégant progressivement des tâches et en les suivant dans leurs réalisations. De bonnes portes d’entrée sont le tutorat, la conception d’exercices sur une notion, la conception de séance afin d’aborder une notion. Dans un premier temps, comme dans le tutorat, le formateur devra accompagner les volontaires en rectifiant si besoin est les erreurs des futurs formateurs ou en imposant sa façon de faire (en dernier recours), mais il devra garder à l’esprit que sa méthode n’est pas La méthode et que même si tel était le cas, elle nécessite d’être adaptée au public particulier composé de chacun des stagiaires et à leur progression vis-à-vis des quatre types d’objectifs de son enseignement. On notera que cette démarche permet au formateur d’intervenir avec beaucoup plus d’aisance devant un groupe dont certains stagiaires maîtrisent le contenu mieux que lui. Il a en effet la possibilité de se placer en position d’apprenant et de chercheur dans l’un ou l’autre des enseignements dont il a la charge et peut aisément placer le ou les spécialistes en position de personne ressource voir les utiliser afin de présenter une notion où construire des exercices.

Revenons à nos hypothèses :

Plus la méthode employée est participative et mieux elle est à même de gérer ou d’utiliser l’hétérogénéité et inversement.

Nous avons exprimé au travers de la définition de l’hétérogénéité et du rôle du formateur selon les pédagogues qu’il apparaît impossible au formateur seul d’apporter une solution à l’hétérogénéité telle que nous l’avons décrite. Si nous admettons une telle définition et un tel rôle du formateur, cette hypothèse apparaît donc plus que jamais d’actualité en ce sens que le formateur ne peut s’appuyer sur personne d’autre que les stagiaires pour réaliser ses objectifs. Remarquons que la pédagogie différenciée attribue une grande place au groupe dans le but de « gérer l’hétérogénéité ».

Les pratiques pédagogiques employées influent sur les représentations que le formateur se fait des seuils d’hétérogénéité (utilisable et gérable).

Nous avons vu au travers des propos de B. SARRAZI que la perception que le formateur a de l’hétérogénéité est fonction de la matière enseignée et de la « sensibilité discriminative » de l’observateur. Si l’on considère que la méthode employée par le formateur est plus ou moins capable d’apporter une solution au problème de l’hétérogénéité, il vient logiquement qu’elle est plus ou moins sensible à l’hétérogénéité. Si on admet que la méthode employée est aussi un outil du formateur, lui permettant d’observer le groupe, et que de la perception vient la représentation, cette hypothèse semble se confirmer dans la théorie.

La gestion de l’hétérogénéité nécessite que le formateur équilibre les pouvoirs entre ses stagiaires et lui.

Nous avons, en exposant notre démarche pédagogique, établi que tel pouvait être le cas. Reste à vérifier l’hypothèse au niveau théorique en faisant le tour des méthodes pédagogiques à la recherche d’un contre-exemple. C'est-à-dire une méthode permettant au formateur d’apporter une solution à l’hétérogénéité sans déléguer de pouvoir, donc de tâche.

La confiance en soi du formateur vis-à-vis de la gestion de groupes est une condition nécessaire pour prendre le risque d’équilibrer les pouvoirs.

Déléguer des tâches, comme dans le cas du tutorat entre pair, revient à déléguer une part de son pouvoir de formateur au tuteur. Le tuteur, en acceptant la tâche d’expliquer, s’empare d’une part du pouvoir du formateur, en ce sens qu’il peut « imposer » au tutoré de refaire l’exercice ou un autre type d’exercice. Il en va de même pour toute fonction que délègue le formateur aux stagiaires, d’où le fait que déléguer crée de nouvelles zones de pouvoir dans le groupe. Le danger pour le formateur, dans la démarche de délégation, est qu’il crée des zones de pouvoirs qui sont à même de devenir des zones de contestations, car confrontés à la nouvelle tâche, le tuteur, le concepteur d’exercice, le concepteur de séance dans le but d’aborder une notion, les stagiaires dont la tâche est de déterminer les notions pertinentes à aborder dans la suite de la formation, sont amenés à réfléchir sur ces tâches et sur la meilleure façon de les mener à bien. Il se peut donc qu’il y ait désaccord entre le formateur et les détenteurs de ces pouvoirs. Le fait de préparer, d’assister et de contrôler le tuteur, par exemple, dans l’exécution de sa tâche, a pour but d’éviter les dérives et de former le tuteur, mais aussi de se placer dans le rôle de référant, de personne ressource vis-à-vis du tuteur, de garder sa légitimité en tant que formateur. La difficulté, en tant que formateur, vis-à-vis de ces nouveaux détenteurs de pouvoir est de garder le contrôle du groupe, le temps que ceux-ci soient opérationnels et qu’il aient intégré les contraintes nouvelles qui s’imposent à eux et qui sont, entre autres, la nécessité de progresser vers les objectifs de la formation, tous ensemble, sans laisser de côté les plus faibles, ni que les plus fort ne s’ennuient. Il faut donc éviter de perdre le contrôle du groupe avant que ne soient complètement intégrées ces contraintes. Les risques qu’impliquent la délégation de tâches sont donc liés au pouvoir que l’on créé chez ceux qui l’acceptent. Il convient donc d’être en capacité de reprendre ce qu’on a délégué, pour éventuellement déléguer à un autre, en cas de « dérapage », c'est-à-dire de non respect des contraintes liées à l’exercice de la tâche. Pour reprendre cette tâche à son compte, ou l’attribuer à quelqu’un d’autre, il est donc nécessaire de justifier de son action, ou d’imposer cette décision, vis-à-vis du groupe et de la source de pouvoir que l’on a créé, cela nécessite donc des compétences en terme de gestion de groupe. D’où le fait que pour envisager de déléguer, il faut penser être en capacité de gérer le groupe. Et qu’est ce donc que « penser être en capacité de » sinon avoir confiance en soi dans l’accomplissement de cette tâche ?

Une autre dimension plus « personnalisée » intervient dans le cadre de cette notion. Pour déléguer au sein d’un groupe, certes il convient d’avoir confiance en ses capacités à gérer les groupes en général, mais il est nécessaire d’avoir confiance en ses capacités à gérer ce groupe en particulier. Il est donc évident que l’idée de délégation ne peut s’envisager sereinement qu’avec un groupe dont on s’est prouvé, ou dont on estime, que l’on peut le contrôler. En ce sens, déléguer ne peut s’envisager et donc se concrétiser dans un groupe que si l’on n’est pas ou plus en recherche de contrôle, de maîtrise, vis-à-vis de lui.

Les mathématiques et la programmation informatique peuvent être un outil l’une pour l’autre dans la situation d’enseignement. Fait qui est en passe de révolutionner l’enseignement des mathématiques en formation initiale et qui à notre sens ne pose problème que si l’on utilise des programmes informatiques tout fait sans les faire concevoir par les élèves.

Mais ce n’est pas de cet aspect que nous voulons traiter ici. Nous allons nous intéresser aux spécificités de leur enseignement.

Objectifs et contraintes de l’enseignement des mathématiques et de la programmation informatique :

De leurs définitions respectives, nous pouvons déduire qu’enseigner les mathématiques où la programmation informatique consiste à faire découvrir, construire, utiliser et enfin maîtriser des raisonnements logiques basés sur des problèmes pratiques (mathématiques ou informatique appliquées) et ou abstraits (mathématiques pures ou Informatique théorique (http://fr.wikipedia.org/wiki/Informatique_th%C3%A9orique) ou méthodes de programmation, par exemple : La programmation structurée, la programmation orientée objet, etc.). Au cours de cet enseignement, il est nécessaire, si l’on veut que les stagiaires puissent généraliser à partir de, ou appliquer à l’exemple concret, d’introduire les concepts théoriques adéquats. Dans ce but, il s’avère souvent nécessaire de présenter des théorèmes comme des axiomes, afin de se débarrasser d’une démonstration impossible compte tenu du niveau de connaissance des stagiaires en mathématiques (tous les phénomènes que nous décrirons dans la suite de ce texte concernant les mathématiques ou la programmation informatique seront considérés comme valide pour l’autre, sauf mention du contraire, compte tenu de leur similitude).

Cette « connaissance » que nous venons d’aborder, à quoi correspond-t-elle ? Il arrive que du fait de la structure constructive des mathématiques, la résolution d’un problème nécessite d’admettre un théorème dont la démonstration n’est pas à la portée des stagiaires, d’autres part refaire toutes les mathématiques donc toutes les démonstrations nécessaires à la résolution d’un problème n’aurait pas de sens à un certains niveau. Cette connaissance est donc celle des théorèmes et autres corollaires dont on peut se servir dans telle ou telle situation.

Une autre connaissance est nécessaire à la communication en mathématique, le langage mathématique, car s’il est vrai que l’on peut représenter l’addition par n’importe quel symbole autre que « + », le langage mathématique est devenu un standard international incontournable en terme de communication qu’il convient de maîtriser afin d’être compris. L’autre fonction du langage mathématique, au-delà de sa fonction de communication est d’être le répertoire des concepts mathématiques découverts, car le fait de représenter les choses implique leur existence. Par exemple, le fait qu’il existe des notations concernant les fonctions, implique l’existence du concept de fonction.

En conclusion, apprendre les mathématiques (ou la programmation informatique) consiste en l’assimilation de concepts et du langage conventionnel qui y est attaché, mais aussi, et nous aimerions dire surtout, en l’étude et la maîtrise de raisonnements logiques dont les éléments qui les composent sont en nombre fini comme expliqué par J-L. Krivine (Page 2, Ensembles et preuves, Séminaire de logique à la Sorbonne, 18 Février 1997, http://www.pps.jussieu.fr/~krivine/articles/ens_prv.pdf) en se basant sur le théorème de complétude de Gödel : « […] il montre que la déduction mathématique est mécanisable, c'est-à-dire réductible à un petit nombre de règles simples, qu'on peut très bien apprendre à une machine. Ce n'est nullement évident, et on a cru longtemps que seul un être humain pouvait raisonner mathématiquement, et qu'il apparaîtrait toujours des modes de raisonnement nouveaux, non réductibles aux anciens. Il est tout à fait étonnant que cette question soit définitivement réglée par un théorème ». On constatera que l’intuition de Feuerstein concernant le nombre limité de fonctions cognitives à la disposition de l’humain, est vérifiée en ce qui concerne les mathématiques. Il reste à noter que le fait que ces raisonnements logiques ont beaux être composés d’un nombre fini et restreint de fonctions cognitives élémentaires, cela n’implique pas qu’il en soit de même pour les raisonnements logiques en eux-mêmes qui consistent en un assemblage ordonné fini où infini (voir le raisonnement par récurrence) d’éléments simples.

La « structure constructive » et les phases d‘apprentissage et d’enseignement des mathématiques :

Mais revenons quelques instants sur la notion de « structure constructive » des mathématiques : Cette notion fait immanquablement penser, pour les initiés, aux courants du structuralisme et du constructivisme. J-L. KRIVINE écrit dans « Mathématique des programmes et programme des mathématiques » : «quand on fait de la recherche mathématique, on a toujours l'impression d'explorer une réalité préexistante, et non pas de créer quelque chose ex nihilo ». Cette constatation pose la question de la préexistence inconsciente supposée par le structuralisme et celle-ci semble bien souvent prouvée par les explications des stagiaires lorsqu’on leur pose la question après qu’ils aient résolu avec succès un problème, « Comment as-tu fait ? ». Mais à notre sens là n’est pas forcément « l’erreur » qui a conduit aux mathématiques modernes, « l’erreur » se situe dans la supposition que la simple explication de ce qui est inconscient permet de le rendre conscient et utilisable. Tout se passe en mathématiques modernes comme si on voulait expliquer à un enfant de trois ans, la conservation des volumes dans le but qu’il joue avec la pâte à modeler. En fait, tout objective et logique que soit la structure des mathématiques, elle ne supporte pas, dans son enseignement, d’être expliquée dans sa forme la plus élaborée et nécessite pour le stagiaire, la construction de structures intermédiaires sur les bases desquelles il pourra appréhender une structure plus complète. Même si le but final de l’apprentissage est le « comment », en mathématiques, on ne peut pas faire l’économie du « pourquoi » personnalisé, qui lui donne sens. Pour illustrer ce propos, un exemple s’impose. Nous savons tous qu’il existe des nombres négatifs à partir d’un certain niveau de connaissance en mathématique, si nous tentons d’expliquer cette notion à un stagiaire en lui exposant (imposant) notre vision des choses, par exemple en lui disant 2-3=-1 parce que 2+X-X=2 qui est équivalent à 2-X+X=2 donc 2-X existe (raisonnement valable en l’absence d’élément absorbant : 2/0*0 est différent de 2), il y a de grandes chances pour qu’il ne comprenne rien même si nous nous passons de la parenthèse sur l’élément absorbant. Pour qu’il comprenne quelque chose à cette explication, il lui faut maîtriser la notion d’équivalence, de commutativité, d’inconnu, d’égalité et enfin d’implication. Cette explication de « pourquoi » il existe des nombres négatifs est donc inefficace pour un stagiaire et sans un pourquoi valable, il reste très difficile de se représenter, donc d’appréhender un concept abstrait, même pour quelqu’un de familiarisé avec l’abstraction. Mais comment aborder ce concept ? Deux moyens au moins s’offrent à nous, le premier est le panneau interne des ascenseurs des bâtiments qui possèdent un sous-sol ! Le second, adaptable en campagne (ou il y a bien peu d’ascenceurs), consiste à aborder le problème par la notion de besoin et de manque :

• J’ai deux sièges, j’ai besoin d’un siège pour m’asseoir, il me reste un siège (2 -1=1)
• J’ai deux sièges, j’ai besoin d’un siège pour m’asseoir et mon ami aussi, il ne me reste pas de siège, il me reste 0 siège (2 -2=0)
• J’ai deux sièges, j’ai besoin d’un siège pour m’asseoir et mes deux ami aussi, il me manque un siège, j’ai un siège de moins que nécessaire, on peut dire que j’ai moins 1 siège (2 -3=-1).

La question vient logiquement, si le nombre négatif existe, qu’est ce que cela change dans ma façon de voir ? 2-3 n’avait pas de résultat et maintenant cela fait -1. En effet si j’avais eu 3 chaises (2+1=3), j’en aurai eu juste assez, le résultat aurait été 0 chaises (2+1-3=0 et 2-3+1=0), celui avec deux chaises étant -1 chaise (2-3=-1), en ajoutant 1 chaise on passe d’un résultat de -1 chaise à un résultat de 0 chaise. On en déduit que -1+1=0. De même -2+2 =0 etc., mais alors puisque l’addition est commutative 2+(-2)=0 et comme 2-2=0 alors 2+(-2) est équivalent à écrire 2-2, d’où la conception que l’addition et la soustraction ne sont qu’une seule et même chose.

Enfin, dans un dernier temps, il convient idéalement d’illustrer la nouvelle structure obtenue au moyen d’exemples parlants pour les stagiaires ou d’ouvrir des pistes quant aux domaines qui y feront appel dans l’avenir. Par exemple, on peut dire dans le cas présent à des élèves que cette notion éclairera sûrement d’un jour nouveau les relevés de comptes bancaires qu’ils ne manqueront pas de recevoir un jour après une dépense déraisonnable.

Attention, il nous semble nécessaire de préciser qu’une approche uniquement axée sur la pratique, sans qu’aucun travail de généralisation ou de raisonnement abstrait ne soit fait, ne nous semble pas non plus une bonne démarche. Il y a plusieurs raisons à cela : Sans généralisation explicite, il n’y a qu’une succession de problèmes que l’on peut résoudre, d’où n’émerge pas forcément une règle générale et s’il en émerge une, rien ne nous dit qu’elle sera valide. A ce propos, nous avons récemment fait la connaissance d’un élève de CE2 dont le professeur ne pratiquait l’enseignement des mathématiques que par la résolution de problèmes pratiques, sans apport théorique. L’effet que cela avait induit chez l’enfant était qu’il avait construit des définitions fausses. Par exemple, il définissait des droites comme parallèles à partir du moment où celles-ci ne se coupaient pas sur le dessin ! N’oublions pas que le but est que le stagiaire apprenne les mathématiques, pas qu’il les réinvente. D’autant que même s’il en était capable, il ne faut pas oublier qu’il existe un autre objectif en mathématique qui tient à l’acquisition du langage mathématique afin de pouvoir communiquer et comprendre les autres mathématiciens, ou simplement ce qu’on lui demande. Une seconde raison s’oppose à l’apprentissage des mathématiques axé uniquement sur la pratique. C’est la différence entre mathématiques pures et mathématiques appliquées. En effet, il n’est pas rare en mathématiques pures, de travailler sur des concepts n’ayant aucune utilisation pratique immédiate, qui se révèlent, parfois bien des années plus tard, utiles dans le cadre d’une découverte dans un autre domaine (souvent les sciences physiques). Cette situation induit que les mathématiques pures ne sont pas incluses dans les mathématiques appliquées. Il apparaît donc nécessaire, dès lors qu’il s’agit de former de futurs mathématiciens, de familiariser aussi les stagiaires avec le côté abstrait des mathématiques. D’ailleurs dès que les problèmes se compliquent, même en mathématiques appliquées, il s’avère nécessaire de faire appel à l’abstraction, car il est très difficile alors de revenir au concret privé d’abstraction. A titre d’exemple, le lien entre la résistance d’un pont et sa modélisation mathématique ne peut que difficilement se concevoir en terme concret privé de toute abstraction.

En conclusion l’enseignement des mathématiques (ou de la programmation informatique) comporte pour nous :

• Une phase de découverte des concepts par l’exemple pratique, qui peut être doublée d’une approche théorique selon le niveau de connaissance et de maîtrise des stagiaires.
• Une phase de généralisation théorique, au cours de laquelle on explore le concept.
• Une phase d’application, au cours de laquelle on met en situation et ou assimile le concept.
• Une phase de reconstruction de la structure mathématique de chaque stagiaire idéalement couplée à
• Une phase de transfert vers des domaines d’application possibles faisant sens pour les stagiaires ou d’une promesse d’utilisation future.

D’un point de vue des sciences de l’éducation, de la pédagogie et de la psychologie cognitive :

Britt-Mari Barth (L’apprentissage de l’abstraction, Paris, Retz, 1987, nouvelle édition, Retz/VUEF, 2001; Le savoir en construction, Paris, Retz, 1993, nouvelle édition, Retz/VUEF, 2002.) (Entretien publié dans le numéro 99, mai-juin 1996, de Vie pédagogique et dans l’ouvrage paru en 2000 aux éditions Multimondes, Des pistes prometteuses. Propos de leaders pédagogiques. http://www.viepedagogique.gouv.qc.ca/numeros/134/vp134_7-9.pdf)

Elle met en évidence cinq étapes ou conditions en interaction qui pour elle, affectent le processus « enseigner – apprendre »

1. Rendre le savoir accessible « Pour rendre le savoir accessible, l’enseignant-médiateur se demande : qu’est-ce qui est essentiel dans le contenu que je veux enseigner, pour faire quoi? On se pose rarement cette question essentielle : pour faire quoi? Il faut préciser le transfert souhaité dès le départ afin de choisir des supports pertinents. Avec quel bagage l’élève doit-il partir? Qu’est-ce qu’il doit savoir faire avec ce qu’on lui apprend? Ce qui veut dire qu’il faudra limiter le contenu en fonction du transfert. C’est le transfert souhaité qui permettra de choisir les situations-exemples appropriées, celles qui donneront aux élèves une expérience du savoir mis en action ; des contre-exemples permettront de délimiter le sens. »

2. Exprimer le savoir dans une forme concrète « Les exemples, les situations contextualisées que l’enseignant prépare doivent inclure tous les éléments que les élèves auront à distinguer, à discerner. Les situations contextualisées doivent rendre « visibles » les caractéristiques ou les attributs essentiels des concepts à apprendre pour que dans des allers-retours entre les exemples, les contre-exemples et les interprétations qu’ils en font, les élèves puissent construire le sens. Il faut trouver des moyens de rendre l’invisible observable, l’abstrait concret. »

3. Engager l’apprenant dans un processus d’élaboration de sens « Que pourrait-il leur dire pour qu’ils aient envie de réellement s’impliquer intellectuellement? C’est le moment de créer l’intersubjectivité. Il s’agit d’expliciter les attentes que l’on peut avoir les uns vis-à-vis des autres et qui restent souvent implicites. Les apprenants, quel que soit leur âge, ont besoin d’avoir un certain nombre d’assurances avant de se lancer dans quelque chose d’aussi risqué que l’apprentissage à l’école. D’abord, ils ont besoin d’assurances en ce qui concerne leur personne. Ils doivent être certains que s’ils s’engagent dans ce projet d’apprendre, l’enseignant va les accompagner et leur donner toute l’aide dont ils auront besoin. Ils auront le droit de faire des erreurs, de tâtonner, de prendre des risques, sans être pénalisés. Une fois les élèves impliqués dans l’action, commence la leçon proprement dite où l’enseignant-médiateur aide les élèves à « négocier le sens » en quelque sorte (ici on aborde la quatrième condition). »

4. Guider le processus de construction de sens « Il guide les élèves dans cet aller-retour entre les situations contextualisées concrètes et la généralisation qu’on peut en faire. Au fur et à mesure qu’ils avancent dans ce processus, les élèves vont finir par élaborer une compréhension plus générale de toutes ces situations contextualisées. Le savoir prend d’abord son sens dans un contexte singulier. Quand on en a un certain nombre, on peut les interpréter, les comparer, faire des inférences. Et ensuite vérifier si cela se confirme dans tous les cas. Par le dialogue, on construit progressivement un sens plus global, plus universel. L’enseignant accompagne l’interaction, modélise le raisonnement s’il le faut. Mais plus les élèves sont familiarisés avec la démarche, plus ils peuvent fonctionner de façon autonome. L’enseignant devient une personne-ressource à qui on peut demander de l’aide quand on en a besoin »

5. Préparer au transfert de connaissances et à la capacité d’abstraction Un transfert serait la capacité d’utiliser un savoir appris dans un contexte donné, dans un autre contexte, dans une situation nouvelle. Pour qu’un transfert se fasse, il faut :

• un savoir compris
• la prise de conscience de l’intérêt de pouvoir transférer
• la nécessité de connaissances spécifiques à d’autres domaines

Nous pouvons constater la similitude entre les phases d‘apprentissage et d’enseignement que nous avons déduite de la structure des mathématiques et proposée et les cinq étapes de Britt-Mari Barth. Cependant nous pouvons observer des différences :

• L’absence d’une phase explicite d’application permettant aux stagiaires de mettre en oeuvre une stratégie déductive dont Antoine de la Garanderie dit qu’elle est plus nécessaire aux stagiaires dans les matières scientifiques et qui s’explique peut-être par la formation plutôt littéraire de Britt-Mari Barth,
• L’absence d’une phase explicite de reconstruction de la structure mathématique de chaque stagiaire qui semble, elle aussi, liée aux mathématiques et aux sciences en général, à quelques approximations prêts, et que nous aborderons dans la suite au travers des propos de Françoise Hatchuel,
• Le fait que Britt-Mari Barth inclus dans le rôle de l’enseignant la prise en charge de la motivation de ses stagiaires, sujet que nous aborderons aussi au travers des propos de Françoise Hatchuel.

Françoise Hatchuel (« Apprendre à aimer les mathématiques », PUF, 2000)

On notera l’imprécision faite par l’auteure citant G. Bachelard et T. Kuhn en écrivant page 67 : « C’est en 1938 que G. Bachelard avance la notion de rupture épistémologique, en montrant comment toute connaissance, notamment scientifique, se construit forcément contre les connaissances antérieure (Bachelard, 1989). Ce mécanisme se trouve aussi bien au niveau social que sur le plan individuel : Les grandes découvertes s’imposent contre l’état des savoirs en place, tandis que la construction par chacun de ses savoirs propres remet en cause l’organisation antérieure. En termes psychanalytiques, on dira qu’un travail de deuil de l’ancien savoir s’avère alors nécessaire. En matière d’épistémologie scientifique, l’idée sera reprise par T. Kuhn (1983), qui montre, en analysant l’histoire des sciences, comment celles-ci progressent non pas de façon linéaire par accumulation progressive, mais par « révolution ». »

En effet en mathématiques, contrairement aux autres sciences, il ne s’agit pas de faire le deuil de l’existant et de reconstruire une structure, mais d’inclure un nouveau concept à une structure préexistante toujours valide. Pour étayer notre point de vue, nous citerons G. Bachelard (Page 22, La formation de l’esprit scientifique, VRIN 1938) « […] l’histoire des mathématiques est une merveille de régularité. Elle connaît des périodes d’arrêt. Elle ne connaît pas des périodes d’erreur. » En se basant sur cette constatation et en conservant l’ensemble du raisonnement sur ce nouveau postulat, il vient logiquement que la notion de rupture épistémologique au sens stricte ne s’applique pas exactement aux mathématiques et ceci au profit de notre hypothèse. Il est important de souligner que dans le cadre des mathématiques appliquées, ce ne sont jamais les raisonnements mathématiques qui sont remis en causes, mais toujours les postulats inhérents à la matière d’application sur lesquels ils reposent. Il y a d’ailleurs de nombreux exemples historiques, où une fois constatée une contradiction entre deux modèles d’un point de vue mathématique, les chercheurs ont remis en cause les postulats sur lesquels ils étaient basés, mettant ainsi en relief une imprécision de l’un ou des deux modèles, démarche qui fut à l’origine d’avancées dans le domaine considéré.

Page 70 :« […] les auteurs renvoient dos à dos pédagogies traditionnelles et pédagogies nouvelles, les unes parce qu’elles tentent de plaquer arbitrairement un savoir déjà constitué dans des esprits qui ne sont pas prêts à les accueillir, les autres parce que, à vouloir prétendre faire redécouvrir à l’enfant les connaissances, elles en oublient ce qu’un vrai savoir demande de structuration. L’apprenant(e) ne peut, seul(e), redécouvrir les lois scientifiques s’il (elle) n’est pas guidé(e) dans sa démarche par des questionnements et des modèles. Il (elle) n’est que le (la) coauteur(e), et non l’auteur(e) absolue de son apprentissage. »

Si là encore, nous somme en accord sur l’idée de fond, à savoir que l’imposition d’un savoir n’est pas efficace et que la redécouverte de l’ensemble des savoirs n’est ni réalisable, ni souhaitable, il me semble nécessaire de préciser un point. L’auteure, en parlant de pédagogies traditionnelles, évoque à mots couverts, n’en doutons pas, le cours magistral et ses dérivés, or même dans sa forme actuelle la plus pure le cours magistral n’est pas totalement incompatible avec la démarche que nous venons de décrire. En effet, tant qu’il s’agit de prendre des exemples du quotidien afin d’aborder des notions, de les faire appliquer, et d’en évoquer des utilisations possibles lors de phases de transfert, la démarche du cours magistral est applicable. Reste le problème des exemples personnels, car prendre un exemple issu du quotidien, s’il assure la possibilité de compréhension du stagiaire, n’agit pas obligatoirement sur sa volonté d’apprendre. Le fait qu’une chose soit intelligible n’implique aucunement qu’on ait la volonté de l’apprendre. Pour ma part, j’ai beau savoir que je peux apprendre l’histoire du timbre au Canada, cela n’implique aucunement que j’ai envie de le faire et donc que je le ferai. Le pédagogue considère du rôle de l’enseignant de tout mettre en œuvre afin d’amener les stagiaires à s’intéresser au domaine spécifique qu’il a pour tâche de leur faire découvrir et en cela il affirme que des exemples issus des centres d’intérêt du stagiaire amèneront ce dernier à considérer la notion abordée comme utile. Si cette affirmation nous semble raisonnable, il est important de souligner qu’il est parfois très difficile, voir impossible, pour l’enseignant seul de trouver cet exemple. Outre le fait que cela suppose d’aménager la formation afin que tous puissent trouver un intérêt personnel via un tête à tête avec l’enseignant, trouver le bon exemple pour chaque stagiaire nécessite des connaissances quasi encyclopédiques, car, n’en doutons pas, il est différent de s’intéresser à la musique et d’avoir un intérêt pour la façon dont sont conçus et réalisés les instruments qui servent à la jouer. C’est, du moins en partie, cette « nouvelle » tâche qui nécessite de changer, aux yeux du pédagogue, les pratiques en matière d’enseignement. Pour palier au problème de l’incompatibilité du cours magistral avec ce « nouveau » rôle, beaucoup de méthodes pédagogiques sont proposées que nous examinerons en partie dans la suite de ce mémoire.

Pourquoi parlons-nous de « nouveau » ? Non pas parce que le manque de motivation des stagiaires ou des élèves est un phénomène nouveau, mais pour souligner un phénomène propre à l’éducation nationale. Notre système éducatif, qui est somme toute récent, semble actuellement connaître une crise des motivations de la part des élèves, qui au dire des professeurs prend de l’ampleur. Il nous semblerait intéressant d’explorer à ce sujet l’évolution des parents d’élèves, qui jusque dans un passé récent considéraient le fait que leurs enfants aient la possibilité de poursuivre des études comme une chance et qui maintenant tiennent un tout autre discours vis-à-vis du système éducatif et des professeurs, qui a sûrement un rôle important dans cette situation. Une étude de l’évolution de leurs représentations et de leurs causes, que certains attribuent à une désillusion vis-à-vis d’un système éducatif incapable de jouer son rôle d’ascenseur social, voir reproduisant les inégalités, d’autres à la montée du chômage, avec le fameux « L’école ça ne sert qu’à faire des chômeurs diplômés », d’autres aux professeurs qui ne sont que « ceux qui n’ont pas pu devenir ingénieurs », ou des « fonctionnaires fainéants dépourvus de conscience professionnelle » etc. Quoi qu’il en soit, il semble être un fait qu’actuellement l’éducation nationale doit faire face à un problème de motivation des élèves, que les pédagogues proposent de régler en gérant l’hétérogénéité des attentes ou hétérogénéité des centres d’intérêt des élèves. Les problèmes que pose cette « nouvelle » tâche vis-à-vis des professeurs, c’est qu’elle implique une modification profonde de leur métier, que certains voient comme un côté publicitaire, voir vrp de leur domaine d’enseignement, qu’elle implique une modification profonde de leurs méthodes de travail et enfin qu’elle doit être traitée en plus de ce qu’ils considèrent comme leur travail normal, dans le même temps, sans réduction d’objectif, sans moyens supplémentaires et sans formations spécifiques. Un grand nombre d’enseignants ont donc vis-à-vis de cette « nouvelle » tâche, une réaction de rejet et considèrent cette « mode » de « l’apprenant au centre de ses apprentissages » comme un dérivé à rapprocher du phénomène bien connu de « l’enfant roi ».

Cette notion apparemment anodine d’exemple personnel en plus de quotidien est aussi l’un des points de désaccord majeur actuel entre certains pédagogues et certains didacticiens. En effet le didacticien renvoie ce problème au contrat didactique implicite et considère que le stagiaire doit se conformer aux attentes du formateur et inversement. S’il considère la rupture possible de ce contrat, c’est le plus souvent dans le sens positif où le stagiaire prend son autonomie vis-à-vis du savoir et de celui qui le dispense par une attitude critique positive. Or, il ne s’agit pas ici de rupture du contrat didactique, mais de son refus et de sa remise en cause dans son utilité par une population toujours plus importante d’élèves. S’il semble justifié que le contrat didactique reste implicite sur certains de ses aspects afin de permettre au stagiaire de prendre son autonomie en développant son esprit critique vis-à-vis du savoir et du formateur dans une relation maître élève. Mais l’acte d’apprendre nécessite-t-il toujours un « maître » ? Cette question s’adresse aussi bien aux défenseurs des méthodes traditionnelles qu’aux nouveaux adeptes de la pédagogie différenciée qui surajoute sans cesse de nouvelles tâches et exigences au rôle de l’enseignant idéal.

Pour poursuivre notre réflexion, et parce que nous venons d’utiliser le mot et dans donner un sens par un exemple concret, il nous semble maintenant opportun d’aborder la notion d’hétérogénéité d’une façon théorique en vous exposant deux points de vue différents concernant cette notion. Le but de cet exercice est de généraliser cette notion et enfin de la transposer dans le cadre des mathématiques.