L’enseignement des mathématiques et de la programmation informatique

Les mathématiques et la programmation informatique peuvent être un outil l’une pour l’autre dans la situation d’enseignement. Fait qui est en passe de révolutionner l’enseignement des mathématiques en formation initiale et qui à notre sens ne pose problème que si l’on utilise des programmes informatiques tout fait sans les faire concevoir par les élèves.

Mais ce n’est pas de cet aspect que nous voulons traiter ici. Nous allons nous intéresser aux spécificités de leur enseignement.

Objectifs et contraintes de l’enseignement des mathématiques et de la programmation informatique :

De leurs définitions respectives, nous pouvons déduire qu’enseigner les mathématiques où la programmation informatique consiste à faire découvrir, construire, utiliser et enfin maîtriser des raisonnements logiques basés sur des problèmes pratiques (mathématiques ou informatique appliquées) et ou abstraits (mathématiques pures ou Informatique théorique (http://fr.wikipedia.org/wiki/Informatique_th%C3%A9orique) ou méthodes de programmation, par exemple : La programmation structurée, la programmation orientée objet, etc.). Au cours de cet enseignement, il est nécessaire, si l’on veut que les stagiaires puissent généraliser à partir de, ou appliquer à l’exemple concret, d’introduire les concepts théoriques adéquats. Dans ce but, il s’avère souvent nécessaire de présenter des théorèmes comme des axiomes, afin de se débarrasser d’une démonstration impossible compte tenu du niveau de connaissance des stagiaires en mathématiques (tous les phénomènes que nous décrirons dans la suite de ce texte concernant les mathématiques ou la programmation informatique seront considérés comme valide pour l’autre, sauf mention du contraire, compte tenu de leur similitude).

Cette « connaissance » que nous venons d’aborder, à quoi correspond-t-elle ? Il arrive que du fait de la structure constructive des mathématiques, la résolution d’un problème nécessite d’admettre un théorème dont la démonstration n’est pas à la portée des stagiaires, d’autres part refaire toutes les mathématiques donc toutes les démonstrations nécessaires à la résolution d’un problème n’aurait pas de sens à un certains niveau. Cette connaissance est donc celle des théorèmes et autres corollaires dont on peut se servir dans telle ou telle situation.

Une autre connaissance est nécessaire à la communication en mathématique, le langage mathématique, car s’il est vrai que l’on peut représenter l’addition par n’importe quel symbole autre que « + », le langage mathématique est devenu un standard international incontournable en terme de communication qu’il convient de maîtriser afin d’être compris. L’autre fonction du langage mathématique, au-delà de sa fonction de communication est d’être le répertoire des concepts mathématiques découverts, car le fait de représenter les choses implique leur existence. Par exemple, le fait qu’il existe des notations concernant les fonctions, implique l’existence du concept de fonction.

En conclusion, apprendre les mathématiques (ou la programmation informatique) consiste en l’assimilation de concepts et du langage conventionnel qui y est attaché, mais aussi, et nous aimerions dire surtout, en l’étude et la maîtrise de raisonnements logiques dont les éléments qui les composent sont en nombre fini comme expliqué par J-L. Krivine (Page 2, Ensembles et preuves, Séminaire de logique à la Sorbonne, 18 Février 1997, http://www.pps.jussieu.fr/~krivine/articles/ens_prv.pdf) en se basant sur le théorème de complétude de Gödel : « […] il montre que la déduction mathématique est mécanisable, c'est-à-dire réductible à un petit nombre de règles simples, qu'on peut très bien apprendre à une machine. Ce n'est nullement évident, et on a cru longtemps que seul un être humain pouvait raisonner mathématiquement, et qu'il apparaîtrait toujours des modes de raisonnement nouveaux, non réductibles aux anciens. Il est tout à fait étonnant que cette question soit définitivement réglée par un théorème ». On constatera que l’intuition de Feuerstein concernant le nombre limité de fonctions cognitives à la disposition de l’humain, est vérifiée en ce qui concerne les mathématiques. Il reste à noter que le fait que ces raisonnements logiques ont beaux être composés d’un nombre fini et restreint de fonctions cognitives élémentaires, cela n’implique pas qu’il en soit de même pour les raisonnements logiques en eux-mêmes qui consistent en un assemblage ordonné fini où infini (voir le raisonnement par récurrence) d’éléments simples.

La « structure constructive » et les phases d‘apprentissage et d’enseignement des mathématiques :

Mais revenons quelques instants sur la notion de « structure constructive » des mathématiques : Cette notion fait immanquablement penser, pour les initiés, aux courants du structuralisme et du constructivisme. J-L. KRIVINE écrit dans « Mathématique des programmes et programme des mathématiques » : «quand on fait de la recherche mathématique, on a toujours l'impression d'explorer une réalité préexistante, et non pas de créer quelque chose ex nihilo ». Cette constatation pose la question de la préexistence inconsciente supposée par le structuralisme et celle-ci semble bien souvent prouvée par les explications des stagiaires lorsqu’on leur pose la question après qu’ils aient résolu avec succès un problème, « Comment as-tu fait ? ». Mais à notre sens là n’est pas forcément « l’erreur » qui a conduit aux mathématiques modernes, « l’erreur » se situe dans la supposition que la simple explication de ce qui est inconscient permet de le rendre conscient et utilisable. Tout se passe en mathématiques modernes comme si on voulait expliquer à un enfant de trois ans, la conservation des volumes dans le but qu’il joue avec la pâte à modeler. En fait, tout objective et logique que soit la structure des mathématiques, elle ne supporte pas, dans son enseignement, d’être expliquée dans sa forme la plus élaborée et nécessite pour le stagiaire, la construction de structures intermédiaires sur les bases desquelles il pourra appréhender une structure plus complète. Même si le but final de l’apprentissage est le « comment », en mathématiques, on ne peut pas faire l’économie du « pourquoi » personnalisé, qui lui donne sens. Pour illustrer ce propos, un exemple s’impose. Nous savons tous qu’il existe des nombres négatifs à partir d’un certain niveau de connaissance en mathématique, si nous tentons d’expliquer cette notion à un stagiaire en lui exposant (imposant) notre vision des choses, par exemple en lui disant 2-3=-1 parce que 2+X-X=2 qui est équivalent à 2-X+X=2 donc 2-X existe (raisonnement valable en l’absence d’élément absorbant : 2/0*0 est différent de 2), il y a de grandes chances pour qu’il ne comprenne rien même si nous nous passons de la parenthèse sur l’élément absorbant. Pour qu’il comprenne quelque chose à cette explication, il lui faut maîtriser la notion d’équivalence, de commutativité, d’inconnu, d’égalité et enfin d’implication. Cette explication de « pourquoi » il existe des nombres négatifs est donc inefficace pour un stagiaire et sans un pourquoi valable, il reste très difficile de se représenter, donc d’appréhender un concept abstrait, même pour quelqu’un de familiarisé avec l’abstraction. Mais comment aborder ce concept ? Deux moyens au moins s’offrent à nous, le premier est le panneau interne des ascenseurs des bâtiments qui possèdent un sous-sol ! Le second, adaptable en campagne (ou il y a bien peu d’ascenceurs), consiste à aborder le problème par la notion de besoin et de manque :

• J’ai deux sièges, j’ai besoin d’un siège pour m’asseoir, il me reste un siège (2 -1=1)
• J’ai deux sièges, j’ai besoin d’un siège pour m’asseoir et mon ami aussi, il ne me reste pas de siège, il me reste 0 siège (2 -2=0)
• J’ai deux sièges, j’ai besoin d’un siège pour m’asseoir et mes deux ami aussi, il me manque un siège, j’ai un siège de moins que nécessaire, on peut dire que j’ai moins 1 siège (2 -3=-1).

Cet exemple pratique permet de définir le concept de nombre négatif et de lui donner une explication personnelle ou quotidienne : C’est notamment pour décrire les phénomènes de manque que de tels nombres existent. On peut ensuite généraliser et une fois tous les pré requis de la première explication acquis, on peut alors donner une autre explication à l’existence des nombres négatifs s’inscrivant plus dans un contexte théorique propre à définir une structure des mathématiques. Il apparaît donc nécessaire d’aborder les notions de mathématiques sous un aspect pratique (quotidien et ou personnel) chaque fois que c’est possible, la définition et le pourquoi où le « A quoi cela va-t-il me servir ? », ne posant enfin plus de problème, il est ensuite possible et nécessaire de généraliser, d’assimiler via des exercices d’application et enfin de mesurer l’impact de l’introduction de ce nouveau concept sur la structure existante du stagiaire.

La question vient logiquement, si le nombre négatif existe, qu’est ce que cela change dans ma façon de voir ? 2-3 n’avait pas de résultat et maintenant cela fait -1. En effet si j’avais eu 3 chaises (2+1=3), j’en aurai eu juste assez, le résultat aurait été 0 chaises (2+1-3=0 et 2-3+1=0), celui avec deux chaises étant -1 chaise (2-3=-1), en ajoutant 1 chaise on passe d’un résultat de -1 chaise à un résultat de 0 chaise. On en déduit que -1+1=0. De même -2+2 =0 etc., mais alors puisque l’addition est commutative 2+(-2)=0 et comme 2-2=0 alors 2+(-2) est équivalent à écrire 2-2, d’où la conception que l’addition et la soustraction ne sont qu’une seule et même chose.

Enfin, dans un dernier temps, il convient idéalement d’illustrer la nouvelle structure obtenue au moyen d’exemples parlants pour les stagiaires ou d’ouvrir des pistes quant aux domaines qui y feront appel dans l’avenir. Par exemple, on peut dire dans le cas présent à des élèves que cette notion éclairera sûrement d’un jour nouveau les relevés de comptes bancaires qu’ils ne manqueront pas de recevoir un jour après une dépense déraisonnable.

Attention, il nous semble nécessaire de préciser qu’une approche uniquement axée sur la pratique, sans qu’aucun travail de généralisation ou de raisonnement abstrait ne soit fait, ne nous semble pas non plus une bonne démarche. Il y a plusieurs raisons à cela : Sans généralisation explicite, il n’y a qu’une succession de problèmes que l’on peut résoudre, d’où n’émerge pas forcément une règle générale et s’il en émerge une, rien ne nous dit qu’elle sera valide. A ce propos, nous avons récemment fait la connaissance d’un élève de CE2 dont le professeur ne pratiquait l’enseignement des mathématiques que par la résolution de problèmes pratiques, sans apport théorique. L’effet que cela avait induit chez l’enfant était qu’il avait construit des définitions fausses. Par exemple, il définissait des droites comme parallèles à partir du moment où celles-ci ne se coupaient pas sur le dessin ! N’oublions pas que le but est que le stagiaire apprenne les mathématiques, pas qu’il les réinvente. D’autant que même s’il en était capable, il ne faut pas oublier qu’il existe un autre objectif en mathématique qui tient à l’acquisition du langage mathématique afin de pouvoir communiquer et comprendre les autres mathématiciens, ou simplement ce qu’on lui demande. Une seconde raison s’oppose à l’apprentissage des mathématiques axé uniquement sur la pratique. C’est la différence entre mathématiques pures et mathématiques appliquées. En effet, il n’est pas rare en mathématiques pures, de travailler sur des concepts n’ayant aucune utilisation pratique immédiate, qui se révèlent, parfois bien des années plus tard, utiles dans le cadre d’une découverte dans un autre domaine (souvent les sciences physiques). Cette situation induit que les mathématiques pures ne sont pas incluses dans les mathématiques appliquées. Il apparaît donc nécessaire, dès lors qu’il s’agit de former de futurs mathématiciens, de familiariser aussi les stagiaires avec le côté abstrait des mathématiques. D’ailleurs dès que les problèmes se compliquent, même en mathématiques appliquées, il s’avère nécessaire de faire appel à l’abstraction, car il est très difficile alors de revenir au concret privé d’abstraction. A titre d’exemple, le lien entre la résistance d’un pont et sa modélisation mathématique ne peut que difficilement se concevoir en terme concret privé de toute abstraction.

En conclusion l’enseignement des mathématiques (ou de la programmation informatique) comporte pour nous :

• Une phase de découverte des concepts par l’exemple pratique, qui peut être doublée d’une approche théorique selon le niveau de connaissance et de maîtrise des stagiaires.
• Une phase de généralisation théorique, au cours de laquelle on explore le concept.
• Une phase d’application, au cours de laquelle on met en situation et ou assimile le concept.
• Une phase de reconstruction de la structure mathématique de chaque stagiaire idéalement couplée à
• Une phase de transfert vers des domaines d’application possibles faisant sens pour les stagiaires ou d’une promesse d’utilisation future.

D’un point de vue des sciences de l’éducation, de la pédagogie et de la psychologie cognitive :

Britt-Mari Barth (L’apprentissage de l’abstraction, Paris, Retz, 1987, nouvelle édition, Retz/VUEF, 2001; Le savoir en construction, Paris, Retz, 1993, nouvelle édition, Retz/VUEF, 2002.) (Entretien publié dans le numéro 99, mai-juin 1996, de Vie pédagogique et dans l’ouvrage paru en 2000 aux éditions Multimondes, Des pistes prometteuses. Propos de leaders pédagogiques. http://www.viepedagogique.gouv.qc.ca/numeros/134/vp134_7-9.pdf)

Elle met en évidence cinq étapes ou conditions en interaction qui pour elle, affectent le processus « enseigner – apprendre »

1. Rendre le savoir accessible « Pour rendre le savoir accessible, l’enseignant-médiateur se demande : qu’est-ce qui est essentiel dans le contenu que je veux enseigner, pour faire quoi? On se pose rarement cette question essentielle : pour faire quoi? Il faut préciser le transfert souhaité dès le départ afin de choisir des supports pertinents. Avec quel bagage l’élève doit-il partir? Qu’est-ce qu’il doit savoir faire avec ce qu’on lui apprend? Ce qui veut dire qu’il faudra limiter le contenu en fonction du transfert. C’est le transfert souhaité qui permettra de choisir les situations-exemples appropriées, celles qui donneront aux élèves une expérience du savoir mis en action ; des contre-exemples permettront de délimiter le sens. »

2. Exprimer le savoir dans une forme concrète « Les exemples, les situations contextualisées que l’enseignant prépare doivent inclure tous les éléments que les élèves auront à distinguer, à discerner. Les situations contextualisées doivent rendre « visibles » les caractéristiques ou les attributs essentiels des concepts à apprendre pour que dans des allers-retours entre les exemples, les contre-exemples et les interprétations qu’ils en font, les élèves puissent construire le sens. Il faut trouver des moyens de rendre l’invisible observable, l’abstrait concret. »

3. Engager l’apprenant dans un processus d’élaboration de sens « Que pourrait-il leur dire pour qu’ils aient envie de réellement s’impliquer intellectuellement? C’est le moment de créer l’intersubjectivité. Il s’agit d’expliciter les attentes que l’on peut avoir les uns vis-à-vis des autres et qui restent souvent implicites. Les apprenants, quel que soit leur âge, ont besoin d’avoir un certain nombre d’assurances avant de se lancer dans quelque chose d’aussi risqué que l’apprentissage à l’école. D’abord, ils ont besoin d’assurances en ce qui concerne leur personne. Ils doivent être certains que s’ils s’engagent dans ce projet d’apprendre, l’enseignant va les accompagner et leur donner toute l’aide dont ils auront besoin. Ils auront le droit de faire des erreurs, de tâtonner, de prendre des risques, sans être pénalisés. Une fois les élèves impliqués dans l’action, commence la leçon proprement dite où l’enseignant-médiateur aide les élèves à « négocier le sens » en quelque sorte (ici on aborde la quatrième condition). »

4. Guider le processus de construction de sens « Il guide les élèves dans cet aller-retour entre les situations contextualisées concrètes et la généralisation qu’on peut en faire. Au fur et à mesure qu’ils avancent dans ce processus, les élèves vont finir par élaborer une compréhension plus générale de toutes ces situations contextualisées. Le savoir prend d’abord son sens dans un contexte singulier. Quand on en a un certain nombre, on peut les interpréter, les comparer, faire des inférences. Et ensuite vérifier si cela se confirme dans tous les cas. Par le dialogue, on construit progressivement un sens plus global, plus universel. L’enseignant accompagne l’interaction, modélise le raisonnement s’il le faut. Mais plus les élèves sont familiarisés avec la démarche, plus ils peuvent fonctionner de façon autonome. L’enseignant devient une personne-ressource à qui on peut demander de l’aide quand on en a besoin »

5. Préparer au transfert de connaissances et à la capacité d’abstraction Un transfert serait la capacité d’utiliser un savoir appris dans un contexte donné, dans un autre contexte, dans une situation nouvelle. Pour qu’un transfert se fasse, il faut :

• un savoir compris
• la prise de conscience de l’intérêt de pouvoir transférer
• la nécessité de connaissances spécifiques à d’autres domaines

Pour le médiateur, il lui faut mener de front l’apprentissage du contenu et de la façon dont l’apprentissage se fait. Il insistera sur ce qui se passe pendant la séance, sur les processus intellectuels mobilisés pendant la séance. Cela a pour but d’élargir le champ de conscience de l’apprenant et donc sa capacité à réutiliser ce qu’il sait dans des contextes différents. (Cette dernière explication est extraite d’une présentation rédigée et présentée par V. QUINCHON & N. WEENS au cours de la formation de formateurs DUFA Paris 10 au cours de laquelle nous avons étudié « Le savoir en construction »)

Nous pouvons constater la similitude entre les phases d‘apprentissage et d’enseignement que nous avons déduite de la structure des mathématiques et proposée et les cinq étapes de Britt-Mari Barth. Cependant nous pouvons observer des différences :

• L’absence d’une phase explicite d’application permettant aux stagiaires de mettre en oeuvre une stratégie déductive dont Antoine de la Garanderie dit qu’elle est plus nécessaire aux stagiaires dans les matières scientifiques et qui s’explique peut-être par la formation plutôt littéraire de Britt-Mari Barth,
• L’absence d’une phase explicite de reconstruction de la structure mathématique de chaque stagiaire qui semble, elle aussi, liée aux mathématiques et aux sciences en général, à quelques approximations prêts, et que nous aborderons dans la suite au travers des propos de Françoise Hatchuel,
• Le fait que Britt-Mari Barth inclus dans le rôle de l’enseignant la prise en charge de la motivation de ses stagiaires, sujet que nous aborderons aussi au travers des propos de Françoise Hatchuel.

Françoise Hatchuel (« Apprendre à aimer les mathématiques », PUF, 2000)

On notera l’imprécision faite par l’auteure citant G. Bachelard et T. Kuhn en écrivant page 67 : « C’est en 1938 que G. Bachelard avance la notion de rupture épistémologique, en montrant comment toute connaissance, notamment scientifique, se construit forcément contre les connaissances antérieure (Bachelard, 1989). Ce mécanisme se trouve aussi bien au niveau social que sur le plan individuel : Les grandes découvertes s’imposent contre l’état des savoirs en place, tandis que la construction par chacun de ses savoirs propres remet en cause l’organisation antérieure. En termes psychanalytiques, on dira qu’un travail de deuil de l’ancien savoir s’avère alors nécessaire. En matière d’épistémologie scientifique, l’idée sera reprise par T. Kuhn (1983), qui montre, en analysant l’histoire des sciences, comment celles-ci progressent non pas de façon linéaire par accumulation progressive, mais par « révolution ». »

En effet en mathématiques, contrairement aux autres sciences, il ne s’agit pas de faire le deuil de l’existant et de reconstruire une structure, mais d’inclure un nouveau concept à une structure préexistante toujours valide. Pour étayer notre point de vue, nous citerons G. Bachelard (Page 22, La formation de l’esprit scientifique, VRIN 1938) « […] l’histoire des mathématiques est une merveille de régularité. Elle connaît des périodes d’arrêt. Elle ne connaît pas des périodes d’erreur. » En se basant sur cette constatation et en conservant l’ensemble du raisonnement sur ce nouveau postulat, il vient logiquement que la notion de rupture épistémologique au sens stricte ne s’applique pas exactement aux mathématiques et ceci au profit de notre hypothèse. Il est important de souligner que dans le cadre des mathématiques appliquées, ce ne sont jamais les raisonnements mathématiques qui sont remis en causes, mais toujours les postulats inhérents à la matière d’application sur lesquels ils reposent. Il y a d’ailleurs de nombreux exemples historiques, où une fois constatée une contradiction entre deux modèles d’un point de vue mathématique, les chercheurs ont remis en cause les postulats sur lesquels ils étaient basés, mettant ainsi en relief une imprécision de l’un ou des deux modèles, démarche qui fut à l’origine d’avancées dans le domaine considéré.

Page 70 :« […] les auteurs renvoient dos à dos pédagogies traditionnelles et pédagogies nouvelles, les unes parce qu’elles tentent de plaquer arbitrairement un savoir déjà constitué dans des esprits qui ne sont pas prêts à les accueillir, les autres parce que, à vouloir prétendre faire redécouvrir à l’enfant les connaissances, elles en oublient ce qu’un vrai savoir demande de structuration. L’apprenant(e) ne peut, seul(e), redécouvrir les lois scientifiques s’il (elle) n’est pas guidé(e) dans sa démarche par des questionnements et des modèles. Il (elle) n’est que le (la) coauteur(e), et non l’auteur(e) absolue de son apprentissage. »

Si là encore, nous somme en accord sur l’idée de fond, à savoir que l’imposition d’un savoir n’est pas efficace et que la redécouverte de l’ensemble des savoirs n’est ni réalisable, ni souhaitable, il me semble nécessaire de préciser un point. L’auteure, en parlant de pédagogies traditionnelles, évoque à mots couverts, n’en doutons pas, le cours magistral et ses dérivés, or même dans sa forme actuelle la plus pure le cours magistral n’est pas totalement incompatible avec la démarche que nous venons de décrire. En effet, tant qu’il s’agit de prendre des exemples du quotidien afin d’aborder des notions, de les faire appliquer, et d’en évoquer des utilisations possibles lors de phases de transfert, la démarche du cours magistral est applicable. Reste le problème des exemples personnels, car prendre un exemple issu du quotidien, s’il assure la possibilité de compréhension du stagiaire, n’agit pas obligatoirement sur sa volonté d’apprendre. Le fait qu’une chose soit intelligible n’implique aucunement qu’on ait la volonté de l’apprendre. Pour ma part, j’ai beau savoir que je peux apprendre l’histoire du timbre au Canada, cela n’implique aucunement que j’ai envie de le faire et donc que je le ferai. Le pédagogue considère du rôle de l’enseignant de tout mettre en œuvre afin d’amener les stagiaires à s’intéresser au domaine spécifique qu’il a pour tâche de leur faire découvrir et en cela il affirme que des exemples issus des centres d’intérêt du stagiaire amèneront ce dernier à considérer la notion abordée comme utile. Si cette affirmation nous semble raisonnable, il est important de souligner qu’il est parfois très difficile, voir impossible, pour l’enseignant seul de trouver cet exemple. Outre le fait que cela suppose d’aménager la formation afin que tous puissent trouver un intérêt personnel via un tête à tête avec l’enseignant, trouver le bon exemple pour chaque stagiaire nécessite des connaissances quasi encyclopédiques, car, n’en doutons pas, il est différent de s’intéresser à la musique et d’avoir un intérêt pour la façon dont sont conçus et réalisés les instruments qui servent à la jouer. C’est, du moins en partie, cette « nouvelle » tâche qui nécessite de changer, aux yeux du pédagogue, les pratiques en matière d’enseignement. Pour palier au problème de l’incompatibilité du cours magistral avec ce « nouveau » rôle, beaucoup de méthodes pédagogiques sont proposées que nous examinerons en partie dans la suite de ce mémoire.

Pourquoi parlons-nous de « nouveau » ? Non pas parce que le manque de motivation des stagiaires ou des élèves est un phénomène nouveau, mais pour souligner un phénomène propre à l’éducation nationale. Notre système éducatif, qui est somme toute récent, semble actuellement connaître une crise des motivations de la part des élèves, qui au dire des professeurs prend de l’ampleur. Il nous semblerait intéressant d’explorer à ce sujet l’évolution des parents d’élèves, qui jusque dans un passé récent considéraient le fait que leurs enfants aient la possibilité de poursuivre des études comme une chance et qui maintenant tiennent un tout autre discours vis-à-vis du système éducatif et des professeurs, qui a sûrement un rôle important dans cette situation. Une étude de l’évolution de leurs représentations et de leurs causes, que certains attribuent à une désillusion vis-à-vis d’un système éducatif incapable de jouer son rôle d’ascenseur social, voir reproduisant les inégalités, d’autres à la montée du chômage, avec le fameux « L’école ça ne sert qu’à faire des chômeurs diplômés », d’autres aux professeurs qui ne sont que « ceux qui n’ont pas pu devenir ingénieurs », ou des « fonctionnaires fainéants dépourvus de conscience professionnelle » etc. Quoi qu’il en soit, il semble être un fait qu’actuellement l’éducation nationale doit faire face à un problème de motivation des élèves, que les pédagogues proposent de régler en gérant l’hétérogénéité des attentes ou hétérogénéité des centres d’intérêt des élèves. Les problèmes que pose cette « nouvelle » tâche vis-à-vis des professeurs, c’est qu’elle implique une modification profonde de leur métier, que certains voient comme un côté publicitaire, voir vrp de leur domaine d’enseignement, qu’elle implique une modification profonde de leurs méthodes de travail et enfin qu’elle doit être traitée en plus de ce qu’ils considèrent comme leur travail normal, dans le même temps, sans réduction d’objectif, sans moyens supplémentaires et sans formations spécifiques. Un grand nombre d’enseignants ont donc vis-à-vis de cette « nouvelle » tâche, une réaction de rejet et considèrent cette « mode » de « l’apprenant au centre de ses apprentissages » comme un dérivé à rapprocher du phénomène bien connu de « l’enfant roi ».

Cette notion apparemment anodine d’exemple personnel en plus de quotidien est aussi l’un des points de désaccord majeur actuel entre certains pédagogues et certains didacticiens. En effet le didacticien renvoie ce problème au contrat didactique implicite et considère que le stagiaire doit se conformer aux attentes du formateur et inversement. S’il considère la rupture possible de ce contrat, c’est le plus souvent dans le sens positif où le stagiaire prend son autonomie vis-à-vis du savoir et de celui qui le dispense par une attitude critique positive. Or, il ne s’agit pas ici de rupture du contrat didactique, mais de son refus et de sa remise en cause dans son utilité par une population toujours plus importante d’élèves. S’il semble justifié que le contrat didactique reste implicite sur certains de ses aspects afin de permettre au stagiaire de prendre son autonomie en développant son esprit critique vis-à-vis du savoir et du formateur dans une relation maître élève. Mais l’acte d’apprendre nécessite-t-il toujours un « maître » ? Cette question s’adresse aussi bien aux défenseurs des méthodes traditionnelles qu’aux nouveaux adeptes de la pédagogie différenciée qui surajoute sans cesse de nouvelles tâches et exigences au rôle de l’enseignant idéal.

Pour poursuivre notre réflexion, et parce que nous venons d’utiliser le mot et dans donner un sens par un exemple concret, il nous semble maintenant opportun d’aborder la notion d’hétérogénéité d’une façon théorique en vous exposant deux points de vue différents concernant cette notion. Le but de cet exercice est de généraliser cette notion et enfin de la transposer dans le cadre des mathématiques.